Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы двойного аргумента,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения \(cos2\alpha +\left | sin\alpha \right |\)

Ответ

1,125; 0

Решение № 14168:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения \( \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| \), выполним следующие шаги:

1. Выразим \(\cos 2\alpha\) через \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\): \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]
2. Подставим \(\cos 2\alpha\) в исходное выражение: \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \left| \sin \alpha \right| \]
3. Рассмотрим два случая для \(\left| \sin \alpha \right|\):
   • Если \(\sin \alpha \geq 0\), то \(\left| \sin \alpha \right| = \sin \alpha\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha \]
   • Если \(\sin \alpha < 0\), то \(\left| \sin \alpha \right| = -\sin \alpha\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \sin \alpha \]
4. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\):
   • Для \(\sin \alpha \geq 0\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha + \sin \alpha \]
   • Для \(\sin \alpha < 0\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \sin \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha - \sin \alpha \]
5. Найдем критические точки, приравняв производные к нулю:
   • Для \(\sin \alpha \geq 0\): \[ f(\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha + \sin \alpha \] \[ f'(\alpha) = -4\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha (1 - 4\sin \alpha) \] Приравняем производную к нулю: \[ \cos \alpha (1 - 4\sin \alpha) = 0 \] Решения: \(\cos \alpha = 0\) или \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\)
   • Для \(\sin \alpha < 0\): \[ g(\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha - \sin \alpha \] \[ g'(\alpha) = -4\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha (-1 - 4\sin \alpha) \] Приравняем производную к нулю: \[ \cos \alpha (-1 - 4\sin \alpha) = 0 \] Решения: \(\cos \alpha = 0\) или \(\sin \alpha = -\frac{1}{4}\)
6. Проверим значения выражения в критических точках и на границах интервала \([-1, 1]\):
   • \(\sin \alpha = 0\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = 1 + 0 = 1 \]
   • \(\sin \alpha = 1\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = -1 + 1 = 0 \]
   • \(\sin \alpha = -1\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = -1 + 1 = 0 \]
   • \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{11}{8} \]
   • \(\sin \alpha = -\frac{1}{4}\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = 1 - 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{11}{8} \]
7. Наибольшее значение: \[ \frac{11}{8} \]
8. Наименьшее значение: \[ 0 \]

Ответ: Наибольшее значение \(\frac{11}{8}\), наименьшее значение \(0\)