На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $ 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136 $.

а) Можно ли получить сумму 116, если n = 53?

б) Можно ли получить сумму 117, если n = 53?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 53?

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $ 1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136 $.

а) Можно ли получить сумму 128, если n = 56?

б) Можно ли получить сумму 129, если n = 56?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 56?

Из первых 22 натуральных чисел $1,2,...,22$ выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?

б) Может ли число $k$ быть равным 11?

в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 29.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. a) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10. b) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор – 5, – 2, 1, 3, 4, 6, 9. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор -6, -2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор -13, -8, -6, -5, -1, 2, 7. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор -13, -8, -6, -5, -1, 2, 7. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой 16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 6 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а) Среди таких 40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Набор состоит из тридцати одного натурального числа, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати шести чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно двенадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее двенадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.

Набор состоит из тридцати девяти натуральных чисел, среди которых есть числа 4, 5 и 7. Среднее арифметическое любых тридцати четырёх чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно шестнадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее шестнадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.

Набор состоит из тридцати одного натурального числа, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати шести чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно двенадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее двенадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.

Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Набор состоит из тридцати одного натурального числа, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати шести чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно двенадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее двенадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.

Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Набор состоит из тридцати девяти натуральных чисел, среди которых есть числа 4, 5 и 7. Среднее арифметическое любых тридцати четырёх чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно шестнадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее шестнадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.

На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое всех написанных чисел равно 3, среднее арифметическое положительных чисел равно 5, а среднее арифметическое отрицательных чисел равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

На доске написано более 54, но менее 72 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -9.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -18.\n\na) Сколько чисел написано на доске?\n\nб) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?\n\nв) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?