№№ 18.4

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников., теорема косинусов, теорема синусов,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:
📖 Решение задач повышенной сложности по геометрии
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: синус и косинус. Тригонометрические соотношения
🔢 Номер задачи: № 18.4

Условие

Диагональ \(АС\) квадрата \(ABCD\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(АСК\), причём точки \(В\) и \(К\) лежат по одну сторону от прямой \(АС\). Докажите, что \(ВК = \frac{|AK-CK|}{\sqrt2}\) и \(DK = \frac{|AK+CK|}{2^(1/2)}\)\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38362:

Точки \(B\), \(D\) и \(К\) лежат на окружности с диаметром \(АС\). Для определённости будем считать, что \(\angle KCA = \varphi \leq 45^\circ\). Тогда \(BK = AC sin (45^\circ - \varphi) = \frac{AC(cos \varphi - sin \varphi)}{2^(1/2)}\) и \(DK = AC sin (45^\circ + \varphi) = \frac{AC(cos \varphi + sin \varphi)}{2^(1/2)}\). Кроме того, \(AC sin \varphi = AK\) и \(ACcos \varphi = CK\).