№№ 14.13

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:
📖 Решение задач повышенной сложности по геометрии
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: равные вписанные углы опираются на равные дуги
🔢 Номер задачи: № 14.13

Условие

В треугольнике \(АВС\) проведены медианы \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\). Докажите, что если \(\angle CAA_{1} = \angle CBB_{1}\), то \(AC = BC\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38256:

Углы \(В_{1}АА_{1}\) и \(A_{1}BB_{1}\) равны, поэтому точки \(А\), \(В\), \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на одной окружности. Согласно примеру 2 на с. 53 параллельные прямые \(АВ\) и \(А_{1}В_{1}\) высекают на этой окружности равные хорды \(АВ_{1}\) и \(ВА_{1}\). Поэтому \(АС = ВС\).