№№ 13.16

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:
📖 Решение задач повышенной сложности по геометрии
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: средняя линия треугольника
🔢 Номер задачи: № 13.16

Условие

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\). На продолжении стороны \(АВ\) за точку \(В\) отмечена точка \(М\) так, Что \(\angle AMO = \angle MAD\). Докажите, что точка \(М\) равноудалена от точек \(С\) и \(D\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38228:

Пусть \(Р\) и \(Q\) - середины сторон \(АВ\) и \(CD\). Тогда отрезки \(РО\) и \(ОQ\) - средние линии треугольников \(ABD\) и \(ACD\). Поэтому \(\angle MPO = \angle MAD = \angle PMO\) и \(MO = PO = QO\) (рис. 194). Следовательно, \(\angle PMQ = 90^\circ\) и \(MQ \perp CD\), т. e. \(MQ\) - серединный перпендикуляр к отрезку \(CD\).