Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Финансовая математика(С5) Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью \(v\) км/ч, составляет \((90+0,4v^{2})\) руб. за 1ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода 1 км пути была наименьшей?

Ответ

15

Решение № 7323:

Для нахождения скорости катера, при которой стоимость прохода 1 км пути будет наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию затрат на прохождение 1 км пути:
\[ C(v) = \frac{90 + 0.4v^2}{v} \]
2. Упростить функцию затрат:
\[ C(v) = \frac{90}{v} + 0.4v \]
3. Найти производную функции затрат \( C(v) \):
\[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{90}{v} + 0.4v\right) \] \[ C'(v) = -\frac{90}{v^2} + 0.4 \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( C'(v) = 0 \):
\[ -\frac{90}{v^2} + 0.4 = 0 \] \[ \frac{90}{v^2} = 0.4 \] \[ v^2 = \frac{90}{0.4} \] \[ v^2 = 225 \] \[ v = 15 \quad (\text{скорость должна быть положительной}) \]
5. Проверить, является ли найденная точка точкой минимума:
\[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(-\frac{90}{v^2} + 0.4\right) \] \[ C'(v) = \frac{180}{v^3} \] \[ C'(15) = \frac{180}{15^3} > 0 \] Поскольку вторая производная положительна, точка \( v = 15 \) является точкой минимума.
6. Вычислить минимальную стоимость прохода 1 км пути:
\[ C(15) = \frac{90}{15} + 0.4 \cdot 15 \] \[ C(15) = 6 + 6 = 12 \]

Ответ:
Скорость катера, при которой стоимость прохода 1 км пути будет наименьшей: \( 15 \) км/ч
Минимальная стоимость прохода 1 км пути: \( 12 \) руб.