Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найти наибольшее значение функции \(y=(2x-1)^{3}(1-0,4x)\)
Ответ
5.4
Решение № 7310:
Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x)
\]
Для удобства, обозначим \( u = (2x - 1)^3 \) и \( v = 1 - 0.4x \). Тогда \( y = u \cdot v \). Используем правило произведения для нахождения производной:
\[
y' = u'v + uv'
\]
Найдем производные \( u \) и \( v \):
\[
u = (2x - 1)^3 \implies u' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2
\]
\[
v = 1 - 0.4x \implies v' = -0.4
\]
Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу производной произведения:
\[
y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) + (2x - 1)^3 (-0.4)
\]
Упростим выражение:
\[
y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 = 0
\]
Вынесем общий множитель \( (2x - 1)^2 \):
\[
(2x - 1)^2 \left[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) \right] = 0
\]
Уравнение \( (2x - 1)^2 = 0 \) дает \( x = \frac{1}{2} \).
Теперь решим второе уравнение:
\[
6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) = 0
\]
Упростим:
\[
6 - 2.4x - 0.8x + 0.4 = 0 \implies 6.4 - 3.2x = 0 \implies x = 2
\]
Таким образом, критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[
y\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot \frac{1}{2}) = 0
\]
\[
y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot 2) = 3^3 \cdot (1 - 0.8) = 27 \cdot 0.2 = 5.4
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции:
Наибольшее значение: \( y(2) = 5.4 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 5.4 \)