Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=-x^{2}+4|x+1|-6\) на отрезке \([-2;1]\)
Ответ
-7
Решение № 7302:
Для нахождения наименьшего значения функции \( y = -x^2 + 4|x+1| - 6 \) на отрезке \([-2; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Рассмотреть функцию \( y = -x^2 + 4|x+1| - 6 \) на двух интервалах: \([-2; -1]\) и \([-1; 1]\), так как модуль \( |x+1| \) изменяет своё значение в точке \( x = -1 \).
-
На интервале \([-2; -1]\):
\[
|x+1| = -(x+1)
\]
Таким образом, функция примет вид:
\[
y = -x^2 + 4(-(x+1)) - 6 = -x^2 - 4(x+1) - 6 = -x^2 - 4x - 4 - 6 = -x^2 - 4x - 10
\]
-
Найти производную функции \( y \) на интервале \([-2; -1]\):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 4x - 10) = -2x - 4
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-2x - 4 = 0 \implies -2x = 4 \implies x = -2
\]
-
Вычислить значение функции в критической точке \( x = -2 \) и на концах отрезка \([-2; -1]\):
\[
y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) - 10 = -4 + 8 - 10 = -6
\]
\[
y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) - 10 = -1 + 4 - 10 = -7
\]
-
На интервале \([-1; 1]\):
\[
|x+1| = x+1
\]
Таким образом, функция примет вид:
\[
y = -x^2 + 4(x+1) - 6 = -x^2 + 4x + 4 - 6 = -x^2 + 4x - 2
\]
-
Найти производную функции \( y \) на интервале \([-1; 1]\):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x - 2) = -2x + 4
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-2x + 4 = 0 \implies -2x = -4 \implies x = 2
\]
-
Критическая точка \( x = 2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\).
-
Вычислить значение функции на концах отрезка \([-1; 1]\):
\[
y(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) - 2 = -1 - 4 - 2 = -7
\]
\[
y(1) = -(1)^2 + 4(1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке \([-2; 1]\):
\[
y(-2) = -6, \quad y(-1) = -7, \quad y(1) = 1
\]
-
Наименьшее значение функции на отрезке \([-2; 1]\) достигается в точке \( x = -1 \):
\[
y(-1) = -7
\]
Ответ:
Наименьшее значение: \( -7 \)