Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\sqrt{100-x^{2}}\) на отрезке \([-6;8]\)

Ответ

6

Решение № 7276:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{100 - x^2} \) на отрезке \([-6; 8]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию:
\[ y = \sqrt{100 - x^2} \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{100 - x^2} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \] \[ -x = 0 \implies x = 0 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-6; 8]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-6; 8]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] \[ y(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10 \] \[ y(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y(8) = 6 \)

Ответ:
Наименьшее значение: \( 6 \)