Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти экстремумы функций\(y=(x-1)^{5}\)

Ответ

нет экстемумов

Решение № 7019:

Для нахождения экстремумов функции \( y = (x-1)^5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}((x-1)^5) = 5(x-1)^4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 5(x-1)^4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ (x-1)^4 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
4. Проверить вторую производную для определения характера критической точки:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}((x-1)^5) = \frac{d}{dx}(5(x-1)^4) = 20(x-1)^3 \]
5. Подставить критическую точку \( x = 1 \) во вторую производную:
\[ y'(1) = 20(1-1)^3 = 20 \cdot 0^3 = 0 \]
6. Поскольку вторая производная в критической точке равна нулю, необходимо использовать первый признак для определения характера критической точки. Проверим знак первой производной слева и справа от критической точки \( x = 1 \):
\[ y'(x) = 5(x-1)^4 \]
7. Проверим знак \( y'(x) \) слева от \( x = 1 \) (например, \( x = 0.9 \)):
\[ y'(0.9) = 5(0.9-1)^4 = 5(-0.1)^4 = 5 \cdot 0.0001 > 0 \]
8. Проверим знак \( y'(x) \) справа от \( x = 1 \) (например, \( x = 1.1 \)):
\[ y'(1.1) = 5(1.1-1)^4 = 5(0.1)^4 = 5 \cdot 0.0001 > 0 \]
9. Поскольку знак первой производной не меняется при переходе через критическую точку \( x = 1 \), функция не имеет экстремума в этой точке.

Заключение:
Функция \( y = (x-1)^5 \) не имеет экстремумов.