Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=\frac{x}{lnx}\)

Ответ

x_{min}=e

Решение № 7008:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x}{\ln x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\ln x} \right) \]
2. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2} \]
3. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
4. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{\ln x \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \( x \): \[ \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \]
7. Проверим, является ли точка \( x = e \) точкой экстремума, используя вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
8. Вычислим вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
9. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 1) - (\ln x - 1) \cdot \frac{d}{dx}((\ln x)^2)}{((\ln x)^2)^2} \]
10. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(\ln x - 1) = \frac{1}{x} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}((\ln x)^2) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \]
11. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \]
12. Упростим выражение: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - 2 (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \] \[ y' = \frac{-\ln x + 2}{x (\ln x)^3} \]
13. Оценим вторую производную в точке \( x = e \): \[ y'(e) = \frac{-\ln e + 2}{e (\ln e)^3} = \frac{-1 + 2}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e} > 0 \]
14. Так как вторая производная положительна в точке \( x = e \), точка \( x = e \) является точкой минимума.

Ответ:
Точка минимума: \( x = e \)