Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=6+12x-x^{3}\)

Ответ

x_{max}=2, x_{min}=-2

Решение № 6997:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 6 + 12x - x^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 + 12x - x^3) = 12 - 3x^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 12 - 3x^2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 12 - 3x^2 = 0 \implies \]
4. \[ 3x^2 = 12 \implies \]
5. \[ x^2 = 4 \implies \]
6. \[ x = \pm 2 \]
7. Проверить, являются ли найденные точки точками экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(12 - 3x^2) = -6x \]
8. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0 \] \[ y'(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 > 0 \]
9. Определить характер точек экстремума:
• В точке \( x = 2 \): \( y'(2) < 0 \), следовательно, функция имеет локальный максимум.
• В точке \( x = -2 \): \( y'(-2) > 0 \), следовательно, функция имеет локальный минимум.
10. Вычислить значения функции в точках экстремума:
\[ y(2) = 6 + 12 \cdot 2 - 2^3 = 6 + 24 - 8 = 22 \] \[ y(-2) = 6 + 12 \cdot (-2) - (-2)^3 = 6 - 24 + 8 = -10 \]

Ответ:
Локальный максимум: \( y(2) = 22 \)
Локальный минимум: \( y(-2) = -10 \)