Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-x^{4}+2x^{2}+3\) на отрезке \([-2;2]\)

Ответ

\underset{[-2;2]}{max} y(x)=4; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-5

Решение № 6967:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(1 - x^2) = 0 \]
4. Разделить уравнение на два уравнения:
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x^2 = 0 \]
5. Решить уравнения относительно \( x \):
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
6. Полученные критические точки:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \] \[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(0) = -0^4 + 2(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] \[ y(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(-1) = 4 \) и \( y(1) = 4 \)
Наименьшее значение: \( y(-2) = -5 \) и \( y(2) = -5 \)

Ответ:
Наибольшее значение: \( 4 \)
Наименьшее значение: \( -5 \)