Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{x}{8}+\frac{2}{x}\) на отрезке \([1;6]\)

Ответ

\underset{[1;6]}{max} y(x)=2\frac{1}{8}; \underset{[1;6]}{min} y(x)=1

Решение № 6963:

1. Найти производную функции \( y = \frac{x}{8} + \frac{2}{x} \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{8} = \frac{2}{x^2} \]
4. Умножим обе части уравнения на \( 8x^2 \): \[ x^2 = 16 \]
5. Возьмем корень из обеих сторон: \[ x = \pm 4 \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 6]\): \[ x = 4 \quad \text{(попадает в отрезок)} \] \[ x = -4 \quad \text{(не попадает в отрезок)} \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{1}{8} + \frac{16}{8} = \frac{17}{8} \] \[ y(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] \[ y(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ y(1) = \frac{17}{8} = 2.125 \] \[ y(4) = 1 \] \[ y(6) = \frac{13}{12} \approx 1.083 \]
9. Наибольшее значение: \( y(1) = \frac{17}{8} \)
10. Наименьшее значение: \( y(4) = 1 \)

Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{17}{8} \)
Наименьшее значение: \( 1 \)