Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Определить, при каком значении \(c\) прямая \(y=3x-2\) является касательной к графику \(y=x^{2}+ax+2\)

Ответ

c\in {-1;7}

Решение № 6952:

Для определения значения \( c \), при котором прямая \( y = 3x - 2 \) является касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = x^2 + cx + 2 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + cx + 2) = 2x + c \]
2. Прямая \( y = 3x - 2 \) будет касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \) в точке \( (x_0, y_0) \), если в этой точке производная функции равна угловому коэффициенту прямой:
\[ 2x_0 + c = 3 \]
3. Точка касания \( (x_0, y_0) \) также должна удовлетворять уравнению прямой:
\[ y_0 = 3x_0 - 2 \]
4. И уравнению графика функции:
\[ y_0 = x_0^2 + cx_0 + 2 \]
5. Приравняем выражения для \( y_0 \):
\[ x_0^2 + cx_0 + 2 = 3x_0 - 2 \]
6. Получим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2x_0 + c = 3 \\ x_0^2 + cx_0 + 2 = 3x_0 - 2 \end{cases} \]
7. Решим первое уравнение относительно \( c \):
\[ c = 3 - 2x_0 \]
8. Подставим это выражение для \( c \) во второе уравнение:
\[ x_0^2 + (3 - 2x_0)x_0 + 2 = 3x_0 - 2 \]
9. Упростим уравнение:
\[ x_0^2 + 3x_0 - 2x_0^2 + 2 = 3x_0 - 2 \] \[ -x_0^2 + 3x_0 + 2 = 3x_0 - 2 \] \[ -x_0^2 + 4 = 0 \] \[ x_0^2 = 4 \]
10. Найдем \( x_0 \):
\[ x_0 = \pm 2 \]
11. Подставим значения \( x_0 \) обратно в выражение для \( c \):
\[ c = 3 - 2x_0 \]
12. Для \( x_0 = 2 \):
\[ c = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1 \]
13. Для \( x_0 = -2 \):
\[ c = 3 - 2 \cdot (-2) = 3 + 4 = 7 \]
14. Таким образом, значения \( c \), при которых прямая \( y = 3x - 2 \) является касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \), равны \( -1 \) и \( 7 \).

Ответ:
Значения \( c \): \( -1 \) и \( 7 \)