Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти критические точки функции\(y=x+8sinx-6cosx\)

Ответ

NaN

Решение № 6924:

Для нахождения критических точек функции \( y = x + 8\sin(x) - 6\cos(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x + 8\sin(x) - 6\cos(x)) = 1 + 8\cos(x) + 6\sin(x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 + 8\cos(x) + 6\sin(x) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 8\cos(x) + 6\sin(x) = -1 \]
4. Для решения этого уравнения можно использовать метод замены переменной. Пусть \( \sin(x) = u \) и \( \cos(x) = v \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ 8v + 6u = -1 \]
5. Учитывая, что \( u^2 + v^2 = 1 \) (так как \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)), подставим \( v = \sqrt{1 - u^2} \) в уравнение:
\[ 8\sqrt{1 - u^2} + 6u = -1 \]
6. Решим это уравнение относительно \( u \):
\[ 8\sqrt{1 - u^2} = -1 - 6u \]
7. Квадрирование обеих частей уравнения:
\[ (8\sqrt{1 - u^2})^2 = (-1 - 6u)^2 \] \[ 64(1 - u^2) = 1 + 12u + 36u^2 \] \[ 64 - 64u^2 = 1 + 12u + 36u^2 \] \[ 64 - 1 = 36u^2 + 64u^2 + 12u \] \[ 63 = 100u^2 + 12u \] \[ 100u^2 + 12u - 63 = 0 \]
8. Решим это квадратное уравнение относительно \( u \):
\[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 100 \), \( b = 12 \), \( c = -63 \): \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-63)}}{2 \cdot 100} \] \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 25200}}{200} \] \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{25344}}{200} \] \[ u = \frac{-12 \pm 159.2}{200} \]
9. Получаем два значения для \( u \):
\[ u_1 = \frac{-12 + 159.2}{200} = \frac{147.2}{200} = 0.736 \] \[ u_2 = \frac{-12 - 159.2}{200} = \frac{-171.2}{200} = -0.856 \]
10. Теперь найдем соответствующие значения \( x \):
\[ \sin(x) = 0.736 \quad \text{или} \quad \sin(x) = -0.856 \]
11. Решим эти уравнения относительно \( x \):
\[ x_1 = \arcsin(0.736) \quad \text{или} \quad x_2 = \arcsin(-0.856) \]
12. Таким образом, критические точки функции \( y = x + 8\sin(x) - 6\cos(x) \) находятся в точках:
\[ x_1 = \arcsin(0.736) \quad \text{и} \quad x_2 = \arcsin(-0.856) \]

Ответ:
Критические точки: \( x_1 = \arcsin(0.736) \) и \( x_2 = \arcsin(-0.856) \)