Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти критические точки функции\(y=cosxcos2x\)

Ответ

\left \{ \pi n, \pm arcsin\sqrt{\frac{5}{6}}+\pi k, k\in Z \right \}

Решение № 6921:

Для нахождения критических точек функции \( y = \cos x \cos 2x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\cos x \cos 2x) \]
2. Применим правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x) \]
3. Вычислим производные каждого из множителей:
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] \[ \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2 \sin 2x \]
4. Подставим их в выражение для производной:
\[ y' = \cos 2x \cdot (-\sin x) + \cos x \cdot (-2 \sin 2x) \] \[ y' = -\sin x \cos 2x - 2 \cos x \sin 2x \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\sin x \cos 2x - 2 \cos x \sin 2x = 0 \]
6. Вынесем общий множитель:
\[ -\sin x (\cos 2x + 2 \cos x) = 0 \]
7. Решим уравнение относительно \( x \):
\[ -\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 2x + 2 \cos x = 0 \]
8. Решим первое уравнение:
\[ \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Решим второе уравнение:
\[ \cos 2x + 2 \cos x = 0 \] \[ \cos 2x + 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0 \]
10. Подставим \( u = \cos x \):
\[ 2u^2 + 2u - 1 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение:
\[ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \]
12. Получаем два значения для \( \cos x \):
\[ \cos x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \]
13. Решим уравнение для \( x \):
\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
14. Объединим все решения:
\[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:
Критические точки: \( x = k\pi \) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).