№13

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, равенство прямоугольных треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:
📖 Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: Равенство прямоугольных треугольников
🔢 Номер задачи: 13

Условие

Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Докажите, что один из его катетов в два раза короче гипотенузы.

Ответ

NaN

Решение № 50617:

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где один из острых углов в два раза больше другого, выполним следующие шаги:

1. Обозначим углы прямоугольного треугольника: Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — острые углы треугольника, причём \( \alpha \) в два раза больше \( \beta \). Тогда: \[ \alpha = 2\beta \]
2. Используем свойство прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(90^\circ\): \[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
3. Подставим \( \alpha = 2\beta \) в уравнение: \[ 2\beta + \beta = 90^\circ \] \[ 3\beta = 90^\circ \] \[ \beta = 30^\circ \]
4. Найдём \( \alpha \): \[ \alpha = 2\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \]
5. Используем определение прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике с углами \(30^\circ\), \(60^\circ\) и \(90^\circ\) отношения сторон известны. Пусть \(a\) — катет, противоположный углу \(30^\circ\), \(b\) — катет, противоположный углу \(60^\circ\), и \(c\) — гипотенуза. Тогда: \[ a = \frac{c}{2}, \quad b = a \sqrt{3} = \frac{c}{2} \sqrt{3} \]
6. Проверим отношение катетов и гипотенузы: \[ a = \frac{c}{2} \] Это означает, что катет \(a\) в два раза короче гипотенузы \(c\).

Таким образом, один из катетов прямоугольного треугольника действительно в два раза короче гипотенузы. Ответ: доказано.