№10

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, равенство прямоугольных треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:
📖 Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: Равенство прямоугольных треугольников
🔢 Номер задачи: 10

Условие

Прямая проходит через середины двух сторон треугольника. Докажите, что высоты, опущенные на нее из концов третьей стороны треугольника, равны.

Ответ

NaN

Решение № 50614:

Для доказательства того, что высоты, опущенные на прямую, проходящую через середины двух сторон треугольника, равны, выполним следующие шаги:

1. Пусть треугольник \(ABC\) имеет стороны \(AB\), \(BC\) и \(CA\).
2. Обозначим середины сторон \(AB\) и \(AC\) как точки \(M\) и \(N\) соответственно.
3. Прямая \(MN\) проходит через середины сторон \(AB\) и \(AC\).
4. Опустим высоты из вершин \(B\) и \(C\) на прямую \(MN\). Обозначим эти высоты как \(BH\) и \(CK\) соответственно.
5. Поскольку \(MN\) проходит через середины сторон \(AB\) и \(AC\), \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\).
6. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна половине её длины. Следовательно, \(MN\) параллельна \(BC\) и \(MN = \frac{1}{2} BC\).
7. Так как \(MN\) параллельна \(BC\), треугольники \(BMN\) и \(BCN\) являются подобными треугольниками по теореме о средней линии.
8. В подобных треугольниках соответствующие высоты пропорциональны соответствующим сторонам. Поскольку \(MN = \frac{1}{2} BC\), высоты \(BH\) и \(CK\) равны.
9. Таким образом, высоты \(BH\) и \(CK\), опущенные на прямую \(MN\) из вершин \(B\) и \(C\), равны.

Таким образом, мы доказали, что высоты, опущенные на прямую, проходящую через середины двух сторон треугольника, равны. Ответ: Высоты равны.