№3

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, равенство прямоугольных треугольников, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:
📖 Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: Равенство прямоугольных треугольников
🔢 Номер задачи: 3

Условие

Две высоты треугольника равны. Докажите, что он равнобедренный.

Ответ

NaN

Решение № 50607:

Для доказательства того, что треугольник является равнобедренным, если две его высоты равны, выполним следующие шаги:

1. Пусть у нас есть треугольник \(ABC\) с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\). Пусть \(h_A\) и \(h_B\) — высоты, опущенные из вершин \(A\) и \(B\) соответственно.
2. По условию задачи, \(h_A = h_B\).
3. Рассмотрим прямые, на которых лежат высоты \(h_A\) и \(h_B\). Пусть \(D\) и \(E\) — точки пересечения этих высот с противоположными сторонами \(BC\) и \(AC\) соответственно.
4. Так как \(h_A = h_B\), то \(AD = BE\).
5. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ADC\) и \(BEC\). В этих треугольниках:
6. Катеты \(AD\) и \(BE\) равны (так как \(h_A = h_B\)).
7. Совпадает общая гипотенуза \(AC\).
8. По теореме Пифагора, для прямоугольных треугольников с равными катетами и общим гипотенузой, углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны.
9. Следовательно, углы \( \angle ACB \) и \( \angle BAC \) равны.
10. Поскольку углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны, треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что если две высоты треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.