№5
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, продление медианы за свою длину, треугольники,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге:
📖 Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: Продолжение медианы на свою длину
🔢 Номер задачи: 5
Условие
В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) - середина стороны \(AC\). На стороне \(BC\) взяли точку \(K\) так, что угол \(BMK\) прямой. Оказалось, что \(BK = AB\). Найдите \(\angle BKM\), если \(\angle A + \angle C = 70^{\circ}\).
Ответ
NaN
Решение № 50603:
Для решения задачи выполним следующие шаги:
- Запишем условие задачи:
В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) - середина стороны \(AC\). На стороне \(BC\) взяли точку \(K\) так, что угол \(BMK\) прямой. Оказалось, что \(BK = AB\). Найдите \(\angle BKM\), если \(\angle A + \angle C = 70^{\circ}\).
- Рассмотрим треугольник \(ABC\) и точку \(M\), которая является серединой стороны \(AC\).
- Поскольку угол \(BMK\) прямой, точка \(M\) лежит на окружности с диаметром \(BK\). Следовательно, \(BM\) является высотой треугольника \(ABC\), проведенной из вершины \(B\) к стороне \(AC\).
- Из условия \(BK = AB\) следует, что треугольник \(ABK\) равнобедренный с основанием \(AK\).
- Рассмотрим углы треугольника \(ABC\):
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}
\]
Так как \(\angle A + \angle C = 70^{\circ}\), то:
\[
\angle B = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}
\]
- Теперь рассмотрим треугольник \(BMK\). Поскольку \(BMK\) прямой угол, то:
\[
\angle BMK = 90^{\circ}
\]
- Так как \(M\) - середина \(AC\), то \(BM\) - это медиана, проведенная к гипотенузе \(AC\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\). Следовательно, \(BM = AM = MC\).
- Треугольник \(BKM\) также равнобедренный с основанием \(BK\). Поскольку \(BK = AB\), то углы при основании \(BK\) равны:
\[
\angle BKM = \angle BKA = \frac{1}{2} \angle B
\]
Так как \(\angle B = 110^{\circ}\), то:
\[
\angle BKM = \frac{1}{2} \times 110^{\circ} = 55^{\circ}
\]
- Следовательно, \(\angle BKM = 55^{\circ}\).
Ответ: \(55^{\circ}\)