№2

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, продление медианы за свою длину, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:
📖 Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы
✍️ Авторы: Авторы не указаны
📌 Глава: Продолжение медианы на свою длину
🔢 Номер задачи: 2

Условие

В треугольнике \(ABC\) провели медиану \(BM\). Оказалось, что сумма углов \(A\) и \(C\) равна углу \(ABM\). Найдите отношение медианы \(BM\) к стороне \(BC\).

Ответ

NaN

Решение № 50600:

Для решения задачи о нахождении отношения медианы \(BM\) к стороне \(BC\) в треугольнике \(ABC\), где сумма углов \(A\) и \(C\) равна углу \(ABM\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \angle A + \angle C = \angle ABM \]
2. Вспомним, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]
3. Подставим условие задачи в уравнение суммы углов треугольника: \[ \angle A + \angle C = \angle ABM \] \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]
4. Вычтем из второго уравнения первое: \[ (\angle A + \angle B + \angle C) - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - \angle ABM \] \[ \angle B = 180^\circ - \angle ABM \]
5. Следовательно, \(\angle ABM\) и \(\angle B\) дополняют друг друга до \(180^\circ\), что означает, что треугольник \(ABM\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\).
6. В прямоугольном треугольнике \(ABM\) медиана \(BM\), проведенная к гипотенузе \(AC\), равна половине гипотенузы: \[ BM = \frac{AC}{2} \]
7. Теперь найдем отношение медианы \(BM\) к стороне \(BC\). Поскольку \(M\) является серединой \(AC\), то: \[ AM = MC = \frac{AC}{2} \]
8. Следовательно, \(BM = AM = MC\), что означает, что треугольник \(BMC\) является равнобедренным с \(BM = MC\).
9. В равнобедренном треугольнике \(BMC\) отношение медианы \(BM\) к стороне \(BC\) равно: \[ \frac{BM}{BC} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, отношение медианы \(BM\) к стороне \(BC\) равно \( \frac{1}{2} \). Ответ: \( \frac{1}{2} \)