Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Докажите, что значение выражения \(42^{47} + 47^{42}\) является составным числом.
Ответ
NaN
Решение № 49591:
Для доказательства того, что значение выражения \(42^{47} + 47^{42}\) является составным числом, выполним следующие шаги:
- Запишем выражение:
\[
42^{47} + 47^{42}
\]
- Рассмотрим остатки от деления на 3 для каждого из слагаемых:
\[
42 \equiv 0 \pmod{3}
\]
\[
47 \equiv 2 \pmod{3}
\]
- Поскольку \(42 \equiv 0 \pmod{3}\), то \(42^{47} \equiv 0^{47} \equiv 0 \pmod{3}\).
- Теперь рассмотрим \(47^{42} \pmod{3}\). Поскольку \(47 \equiv 2 \pmod{3}\), то:
\[
47^{42} \equiv 2^{42} \pmod{3}
\]
- Заметим, что \(2^2 \equiv 1 \pmod{3}\), следовательно:
\[
2^{42} = (2^2)^{21} \equiv 1^{21} \equiv 1 \pmod{3}
\]
- Теперь сложим остатки:
\[
42^{47} + 47^{42} \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}
\]
- Таким образом, \(42^{47} + 47^{42}\) даёт остаток 1 при делении на 3, что означает, что это число не делится на 3.
- Теперь рассмотрим остатки от деления на 7 для каждого из слагаемых:
\[
42 \equiv 0 \pmod{7}
\]
\[
47 \equiv 5 \pmod{7}
\]
- Поскольку \(42 \equiv 0 \pmod{7}\), то \(42^{47} \equiv 0^{47} \equiv 0 \pmod{7}\).
- Теперь рассмотрим \(47^{42} \pmod{7}\). Поскольку \(47 \equiv 5 \pmod{7}\), то:
\[
47^{42} \equiv 5^{42} \pmod{7}
\]
- Заметим, что \(5^6 \equiv 1 \pmod{7}\) по теореме Ферма, следовательно:
\[
5^{42} = (5^6)^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \pmod{7}
\]
- Теперь сложим остатки:
\[
42^{47} + 47^{42} \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{7}
\]
- Таким образом, \(42^{47} + 47^{42}\) даёт остаток 1 при делении на 7, что означает, что это число не делится на 7.
- Теперь рассмотрим остатки от деления на 2 для каждого из слагаемых:
\[
42 \equiv 0 \pmod{2}
\]
\[
47 \equiv 1 \pmod{2}
\]
- Поскольку \(42 \equiv 0 \pmod{2}\), то \(42^{47} \equiv 0^{47} \equiv 0 \pmod{2}\).
- Теперь рассмотрим \(47^{42} \pmod{2}\). Поскольку \(47 \equiv 1 \pmod{2}\), то:
\[
47^{42} \equiv 1^{42} \equiv 1 \pmod{2}
\]
- Теперь сложим остатки:
\[
42^{47} + 47^{42} \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{2}
\]
- Таким образом, \(42^{47} + 47^{42}\) даёт остаток 1 при делении на 2, что означает, что это число не делится на 2.
- Поскольку \(42^{47} + 47^{42}\) не делится ни на 2, ни на 3, ни на 7, это число не является простым (так как простое число должно делиться только на 1 и само себя).
- Следовательно, \(42^{47} + 47^{42}\) является составным числом.
Ответ: \(42^{47} + 47^{42}\) является составным числом.