Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите все простые \(р\) такие, что число \(р^2 + 11\) имеет 6 различных натуральных делителей.

Ответ

3

Решение № 49590:

Для решения задачи Найдите все простые \( p \), такие что число \( p^2 + 11 \) имеет 6 различных натуральных делителей выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ p^2 + 11 \]
2. Определим, какое число имеет ровно 6 делителей. Число имеет 6 делителей, если оно либо простое в степени 5 (например, \( p^5 \)), либо произведение двух простых чисел в степенях 1 и 2 (например, \( p_1 \cdot p_2^2 \)). В данном случае нас интересует второй вариант, так как \( p \) — простое число.
3. Предположим, что \( p^2 + 11 \) имеет вид \( q_1 \cdot q_2^2 \), где \( q_1 \) и \( q_2 \) — простые числа.
4. Рассмотрим возможные значения \( p \):
   • Если \( p = 2 \): \[ p^2 + 11 = 2^2 + 11 = 4 + 11 = 15 \] Делители числа 15: \( 1, 3, 5, 15 \) (4 делителя, не подходит).
   • Если \( p = 3 \): \[ p^2 + 11 = 3^2 + 11 = 9 + 11 = 20 \] Делители числа 20: \( 1, 2, 4, 5, 10, 20 \) (6 делителей, подходит).
   • Если \( p = 5 \): \[ p^2 + 11 = 5^2 + 11 = 25 + 11 = 36 \] Делители числа 36: \( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \) (9 делителей, не подходит).
   • Если \( p = 7 \): \[ p^2 + 11 = 7^2 + 11 = 49 + 11 = 60 \] Делители числа 60: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \) (12 делителей, не подходит).
5. Таким образом, единственное простое число \( p \), которое удовлетворяет условию задачи, это \( p = 3 \).

Ответ: \( p = 3 \)