Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что число \(24^{24} - 1\) кратно 85.

Ответ

NaN

Решение № 49588:

Для доказательства того, что число \(24^{24} - 1\) кратно 85, выполним следующие шаги:

1. Запишем число \(24^{24} - 1\).
2. Выразим \(24^{24}\) через произведение: \[ 24^{24} = (24^2)^{12} \]
3. Вычислим \(24^2\): \[ 24^2 = 576 \]
4. Таким образом, \(24^{24} = 576^{12}\).
5. Теперь рассмотрим выражение \(576^{12} - 1\).
6. Заметим, что \(576 = 85 \cdot 6 + 61\), то есть \(576 \equiv 61 \pmod{85}\).
7. Следовательно, \(576^{12} \equiv 61^{12} \pmod{85}\).
8. Теперь рассмотрим \(61^{12} - 1\).
9. Используем теорему Ферма: если \(p\) — простое число, то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) для любого \(a\), не делящегося на \(p\).
10. Поскольку 85 не является простым числом, рассмотрим его простые делители: \(85 = 5 \cdot 17\).
11. Для \(p = 5\): \(61^{4} \equiv 1 \pmod{5}\), так как \(61 \equiv 1 \pmod{5}\).
12. Для \(p = 17\): \(61^{16} \equiv 1 \pmod{17}\), так как \(61 \equiv 10 \pmod{17}\).
13. Таким образом, \(61^{12} \equiv 1 \pmod{5}\) и \(61^{12} \equiv 1 \pmod{17}\).
14. Следовательно, \(61^{12} \equiv 1 \pmod{85}\).
15. Теперь \(61^{12} - 1 \equiv 0 \pmod{85}\), то есть \(61^{12} - 1\) кратно 85.
16. Следовательно, \(576^{12} - 1\) кратно 85.
17. Таким образом, \(24^{24} - 1\) кратно 85.

Ответ: Число \(24^{24} - 1\) кратно 85.