Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Используя малую теорему Ферма, найдите остаток от деления числа \(а\) на число \(b\), если: \(a= 2^{47}\), \(b= 41\).

Ответ

NaN

Решение № 49587:

Для решения задачи с использованием малой теоремы Ферма найдем остаток от деления числа \(a = 2^{47}\) на число \(b = 41\). Малая теорема Ферма утверждает, что если \(p\) — простое число, а \(a\) — целое число, не делящееся на \(p\), то: \[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \] В нашем случае \(p = 41\) и \(a = 2\). Выполним следующие шаги:

1. Запишем число \(a\) в виде степени: \[ a = 2^{47} \]
2. Применим малую теорему Ферма: \[ 2^{40} \equiv 1 \pmod{41} \]
3. Разложим показатель степени \(47\) на сумму \(40 + 7\): \[ 2^{47} = 2^{40 + 7} = 2^{40} \cdot 2^7 \]
4. Подставим \(2^{40} \equiv 1 \pmod{41}\) в выражение: \[ 2^{47} \equiv 2^{40} \cdot 2^7 \equiv 1 \cdot 2^7 \equiv 2^7 \pmod{41} \]
5. Вычислим \(2^7\): \[ 2^7 = 128 \]
6. Найдем остаток от деления \(128\) на \(41\): \[ 128 \div 41 = 3 \quad \text{с остатком} \quad 5 \]

Таким образом, остаток от деления \(2^{47}\) на \(41\) равен \(5\). Ответ: \(5\)