Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что при любом натуральном \(а\) значение выражения \(а^{57} - 39а^3\) кратно 19.

Ответ

NaN

Решение № 49585:

Докажем, что при любом натуральном \(a\) значение выражения \(a^{57} - 39a^3\) кратно 19.

1. Запишем выражение: \[ a^{57} - 39a^3 \]
2. Перепишем 39 как произведение 19 и 2: \[ 39a^3 = 19 \cdot 2a^3 \]
3. Подставим \(39a^3\) в выражение: \[ a^{57} - 19 \cdot 2a^3 \]
4. Вынесем 19 за скобки: \[ a^{57} - 19 \cdot 2a^3 = a^{57} - 19 \cdot (2a^3) \]
5. Рассмотрим \(a^{57}\) по модулю 19. По теореме Ферма, если \(a\) не делится на 19, то: \[ a^{18} \equiv 1 \pmod{19} \] Следовательно, \[ a^{57} = a^{3 \cdot 19 + 1} = (a^{18})^3 \cdot a^3 \equiv 1^3 \cdot a^3 \equiv a^3 \pmod{19} \]
6. Таким образом, \(a^{57} \equiv a^3 \pmod{19}\).
7. Теперь рассмотрим выражение \(a^{57} - 39a^3\) по модулю 19: \[ a^{57} - 39a^3 \equiv a^3 - 19 \cdot 2a^3 \equiv a^3 - 0 \equiv a^3 \pmod{19} \]
8. Поскольку \(a^3\) кратно 19 при любом натуральном \(a\), то и \(a^{57} - 39a^3\) кратно 19.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном \(a\) значение выражения \(a^{57} - 39a^3\) кратно 19.