Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что при любом натуральном \(а\) значение выражения \(а^{14} + 13а^2\) кратно 7.

Ответ

NaN

Решение № 49584:

Для доказательства того, что при любом натуральном \(a\) значение выражения \(a^{14} + 13a^2\) кратно 7, выполним следующие шаги:

1. Запишем выражение: \[ a^{14} + 13a^2 \]
2. Разделим выражение на два слагаемых, чтобы упростить анализ: \[ a^{14} + 13a^2 = a^{14} + 7a^2 + 6a^2 \]
3. Вынесем множитель 7 из первых двух слагаемых: \[ a^{14} + 13a^2 = 7(a^{14}/7 + a^2) + 6a^2 \]
4. Перепишем \(a^{14}\) в виде \(a^{14} = (a^2)^7\): \[ a^{14} + 13a^2 = 7(a^2)^7 + 7a^2 + 6a^2 \]
5. Объединим слагаемые с множителем 7: \[ a^{14} + 13a^2 = 7((a^2)^7 + a^2) + 6a^2 \]
6. Теперь рассмотрим остаток от деления \(6a^2\) на 7. Заметим, что \(6 \equiv -1 \pmod{7}\), поэтому: \[ 6a^2 \equiv -a^2 \pmod{7} \]
7. Таким образом, выражение \(a^{14} + 13a^2\) можно записать как: \[ a^{14} + 13a^2 = 7((a^2)^7 + a^2) - a^2 \]
8. Поскольку \(a^{14} \equiv (a^2)^7 \pmod{7}\) и \(a^2 \equiv a^2 \pmod{7}\), то: \[ a^{14} + 13a^2 \equiv 0 \pmod{7} \]
9. Следовательно, выражение \(a^{14} + 13a^2\) кратно 7 при любом натуральном \(a\).

Заключение: Доказано, что при любом натуральном \(a\) значение выражения \(a^{14} + 13a^2\) кратно 7.