Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Натуральные числа \(a\), \(b\) и \(с\) таковы, что \((а + b + с) \vdots 13\). Докажите, что число \(а^{13} + b^{13} + с^{13}\) также кратно 13.

Ответ

NaN

Решение № 49583:

Для доказательства того, что число \(a^{13} + b^{13} + c^{13}\) кратно 13, если \((a + b + c) \vdots 13\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ (a + b + c) \vdots 13 \]
2. Это означает, что сумма \(a + b + c\) делится на 13. Пусть \(a + b + c = 13k\) для некоторого целого числа \(k\).
3. Рассмотрим выражение \(a^{13} + b^{13} + c^{13}\).
4. По теореме Ферма (малая теорема Ферма), если \(p\) — простое число, а \(a\) — целое число, не делящееся на \(p\), то: \[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \] Для \(p = 13\), это означает: \[ a^{12} \equiv 1 \pmod{13} \] Следовательно, \(a^{13} \equiv a \pmod{13}\).
5. Таким образом, для каждого из чисел \(a\), \(b\) и \(c\) выполняется: \[ a^{13} \equiv a \pmod{13} \] \[ b^{13} \equiv b \pmod{13} \] \[ c^{13} \equiv c \pmod{13} \]
6. Сложим эти сравнения: \[ a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv a + b + c \pmod{13} \]
7. Так как \(a + b + c \equiv 0 \pmod{13}\) (по условию задачи), то: \[ a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv 0 \pmod{13} \]
8. Следовательно, \(a^{13} + b^{13} + c^{13}\) также кратно 13.

Таким образом, мы доказали, что число \(a^{13} + b^{13} + c^{13}\) кратно 13, если \((a + b + c) \vdots 13\).