Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Натуральные числа \(m, n и k\) таковы, что числа \(р = m + n\), \(q = n + k\) и \( r= m + k\) являются простыми. Докажите, что одно из чисел \(p, q, r\) равно 2.

Ответ

NaN

Решение № 49582:

Для решения задачи докажем, что одно из чисел \(p\), \(q\) или \(r\) равно 2. Рассмотрим следующие шаги:

1. Предположим, что все числа \(p\), \(q\) и \(r\) нечётные. Это означает, что \(m\), \(n\) и \(k\) также должны быть нечётными, поскольку сумма двух нечётных чисел нечётна.
2. Рассмотрим сумму \(p + q + r\): \[ p + q + r = (m + n) + (n + k) + (m + k) \]
3. Упростим выражение: \[ p + q + r = m + n + n + k + m + k = 2m + 2n + 2k = 2(m + n + k) \]
4. Таким образом, \(p + q + r\) чётное, поскольку \(2(m + n + k)\) чётное.
5. С другой стороны, если \(p\), \(q\) и \(r\) нечётные, то их сумма должна быть нечётной. Но мы установили, что \(p + q + r\) чётное.
6. Получаем противоречие: нечётная сумма не может быть чётной.
7. Следовательно, наше предположение неверно, и одно из чисел \(p\), \(q\) или \(r\) должно быть чётным.
8. Поскольку \(p\), \(q\) и \(r\) простые числа, единственное чётное простое число — это 2.
9. Таким образом, одно из чисел \(p\), \(q\) или \(r\) равно 2.

Ответ: Одно из чисел \(p\), \(q\) или \(r\) равно 2.