Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Натуральное число \(n\) таково, что числа \(5n - 1\) и \(n - 10\) делятся нацело на простое число \(\)р. Найдите \(р\).

Ответ

7

Решение № 49581:

Для решения задачи, где натуральное число \(n\) таково, что числа \(5n - 1\) и \(n - 10\) делятся нацело на простое число \(p\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: числа \(5n - 1\) и \(n - 10\) делятся нацело на простое число \(p\).
2. Выразим условие делимости математически: \[ p \mid (5n - 1) \quad \text{и} \quad p \mid (n - 10) \]
3. Используем свойство делимости: если числа \(a\) и \(b\) делятся на \(p\), то их линейная комбинация также делится на \(p\). Рассмотрим линейную комбинацию: \[ p \mid (5(n - 10) - (5n - 1)) \]
4. Вычислим линейную комбинацию: \[ 5(n - 10) - (5n - 1) = 5n - 50 - 5n + 1 = -49 \]
5. Таким образом, \(p\) должно делить \(-49\): \[ p \mid -49 \]
6. Поскольку \(p\) — простое число, найдем простые делители числа 49. Разложим 49 на простые множители: \[ 49 = 7^2 \]
7. Из этого следует, что \(p = 7\), так как 7 — единственное простое число, делящее 49.

Таким образом, простое число \(p\), на которое делятся числа \(5n - 1\) и \(n - 10\), есть \(p = 7\). Ответ: 7