Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите все простые числа \(р\) и \(q\), удовлетворяющие уравнению \(q - р^2 = 2\).

Ответ

\(p=3\), \(q=11\).

Решение № 49579:

Для решения задачи найти все простые числа \( p \) и \( q \), удовлетворяющие уравнению \( q - p^2 = 2 \), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ q - p^2 = 2 \]
2. Перепишем уравнение в виде: \[ q = p^2 + 2 \]
3. Проверим, какие простые числа \( p \) удовлетворяют этому уравнению, при этом \( q \) должно быть простым числом. Рассмотрим простые числа \( p \):
   • Если \( p = 2 \): \[ q = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \quad (\text{6 не является простым числом}) \]
   • Если \( p = 3 \): \[ q = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11 \quad (\text{11 является простым числом}) \]
   • Если \( p = 5 \): \[ q = 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \quad (\text{27 не является простым числом}) \]
   • Если \( p = 7 \): \[ q = 7^2 + 2 = 49 + 2 = 51 \quad (\text{51 не является простым числом}) \]
   • Если \( p = 11 \): \[ q = 11^2 + 2 = 121 + 2 = 123 \quad (\text{123 не является простым числом}) \]
4. Таким образом, единственная пара простых чисел \( p \) и \( q \), удовлетворяющих уравнению \( q - p^2 = 2 \), это \( p = 3 \) и \( q = 11 \).

Ответ: \( p = 3 \), \( q = 11 \)