Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите все простые числа \(р\) и \(q\), удовлетворяющие уравнению
\(р^2 - 2q^2 = 1\).
Ответ
\(p=3\), \(q=2\).
Решение № 49578:
Для решения уравнения \( p^2 - 2q^2 = 1 \), где \( p \) и \( q \) — простые числа, выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
p^2 - 2q^2 = 1
\]
- Перепишем уравнение в виде:
\[
p^2 = 2q^2 + 1
\]
- Поскольку \( p \) и \( q \) — простые числа, рассмотрим возможные значения \( q \):
- Если \( q = 2 \), то:
\[
p^2 = 2 \cdot 2^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9 \implies p = \sqrt{9} = 3
\]
Таким образом, \( p = 3 \) и \( q = 2 \) — это одно из решений.
- Если \( q \neq 2 \), то \( q \) — нечётное простое число. Рассмотрим уравнение \( p^2 = 2q^2 + 1 \) при \( q \) — нечётное простое число:
- Для \( q = 3 \):
\[
p^2 = 2 \cdot 3^2 + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19 \implies p = \sqrt{19}
\]
Поскольку \( \sqrt{19} \) не является целым числом, \( q = 3 \) не подходит.
- Для \( q = 5 \):
\[
p^2 = 2 \cdot 5^2 + 1 = 2 \cdot 25 + 1 = 50 + 1 = 51 \implies p = \sqrt{51}
\]
Поскольку \( \sqrt{51} \) не является целым числом, \( q = 5 \) не подходит.
- Для \( q = 7 \):
\[
p^2 = 2 \cdot 7^2 + 1 = 2 \cdot 49 + 1 = 98 + 1 = 99 \implies p = \sqrt{99}
\]
Поскольку \( \sqrt{99} \) не является целым числом, \( q = 7 \) не подходит.
- Для \( q = 11 \):
\[
p^2 = 2 \cdot 11^2 + 1 = 2 \cdot 121 + 1 = 242 + 1 = 243 \implies p = \sqrt{243}
\]
Поскольку \( \sqrt{243} \) не является целым числом, \( q = 11 \) не подходит.
- Таким образом, единственное решение уравнения \( p^2 - 2q^2 = 1 \) для простых чисел \( p \) и \( q \) — это \( p = 3 \) и \( q = 2 \).
Ответ: \( p = 3 \) и \( q = 2 \).