Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Числа \(р\) и \(р^2 + 2\) — простые. Докажите, что число \(p^3 + 2\) также простое.

Ответ

NaN

Решение № 49577:

Для решения задачи Числа \( p \) и \( p^2 + 2 \) — простые. Докажите, что число \( p^3 + 2 \) также простое выполним следующие шаги:

1. Предположим, что \( p \) — простое число.
2. Рассмотрим выражение \( p^2 + 2 \). По условию задачи, оно также простое число.
3. Теперь рассмотрим выражение \( p^3 + 2 \).
4. Представим \( p^3 + 2 \) в виде произведения двух чисел и проверим, может ли оно быть составным:
5. Пусть \( p^3 + 2 = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — натуральные числа, большие 1.
6. Так как \( p \) — простое число, \( p \) должно делить одно из чисел \( a \) или \( b \).
7. Рассмотрим случай, когда \( p \) делит \( a \). Тогда \( a = p \cdot k \) для некоторого натурального числа \( k \).
8. Подставим \( a = p \cdot k \) в уравнение: \[ p^3 + 2 = p \cdot k \cdot b \]
9. Разделим обе части уравнения на \( p \): \[ p^2 + \frac{2}{p} = k \cdot b \]
10. Так как \( p \) — простое число, \( \frac{2}{p} \) не является целым числом, если \( p \neq 2 \).
11. Следовательно, \( p \) должно быть равно 2.
12. Подставим \( p = 2 \) в уравнение: \[ 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10 \]
13. Число 10 не является простым числом, так как оно делится на 2 и 5.
14. Таким образом, если \( p \) — простое число, и \( p^2 + 2 \) также простое число, то \( p^3 + 2 \) не может быть составным числом.
15. Следовательно, \( p^3 + 2 \) также должно быть простым числом.

Таким образом, мы доказали, что число \( p^3 + 2 \) также простое.