Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Числа \(р\) и \(8р^2 + 1\) — простые. Найдите \(р\).

Ответ

3

Решение № 49576:

Для решения задачи Числа \( p \) и \( 8p^2 + 1 \) — простые. Найдите \( p \) выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Числа \( p \) и \( 8p^2 + 1 \) являются простыми.
2. Простые числа — это числа, которые имеют ровно два делителя: 1 и само число.
3. Рассмотрим возможные значения \( p \):
   • Если \( p = 2 \), то \( 8p^2 + 1 = 8 \cdot 2^2 + 1 = 8 \cdot 4 + 1 = 32 + 1 = 33 \), которое не является простым числом (33 делится на 3 и 11).
   • Если \( p = 3 \), то \( 8p^2 + 1 = 8 \cdot 3^2 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 72 + 1 = 73 \), которое является простым числом.
   • Если \( p = 5 \), то \( 8p^2 + 1 = 8 \cdot 5^2 + 1 = 8 \cdot 25 + 1 = 200 + 1 = 201 \), которое не является простым числом (201 делится на 3 и 67).
   • Если \( p = 7 \), то \( 8p^2 + 1 = 8 \cdot 7^2 + 1 = 8 \cdot 49 + 1 = 392 + 1 = 393 \), которое не является простым числом (393 делится на 3 и 131).
4. Проверим, является ли \( p = 3 \) решением:
   • Число \( p = 3 \) является простым.
   • Число \( 8p^2 + 1 = 73 \) также является простым.
5. Таким образом, единственное значение \( p \), при котором оба числа являются простыми, это \( p = 3 \).

Ответ: \( p = 3 \)