Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Целые числа \(m\) и \(n\) таковы, что значение выражения \(m^2-15mn+n^2\) кратно 17. Докажите, что значение выражения \(m+n\) кратно 17.

Ответ

NaN

Решение № 49575:

Для решения задачи Целые числа \(m\) и \(n\) таковы, что значение выражения \(m^2 - 15mn + n^2\) кратно 17. Докажите, что значение выражения \(m + n\) кратно 17 выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ m^2 - 15mn + n^2 \equiv 0 \pmod{17} \]
2. Рассмотрим выражение \(m + n\) и покажем, что оно кратно 17. Для этого перепишем исходное уравнение: \[ m^2 - 15mn + n^2 = (m+n)^2 - 17mn \]
3. Подставим это выражение в условие: \[ (m+n)^2 - 17mn \equiv 0 \pmod{17} \]
4. Поскольку \(17mn\) делится на 17, то: \[ (m+n)^2 \equiv 0 \pmod{17} \]
5. Следовательно, \((m+n)^2\) делится на 17. Это означает, что \(m+n\) также должно делиться на 17: \[ m+n \equiv 0 \pmod{17} \]

Таким образом, мы доказали, что значение выражения \(m + n\) кратно 17. Ответ: \(m + n\) кратно 17.