Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Целые числа \(а\) и \(b\) таковы, что значение выражения \(а^2 + 9аb + b^2\) кратно 11. Докажите, что значение выражения \(а - b\) кратно 11.

Ответ

NaN

Решение № 49574:

Для доказательства того, что значение выражения \(a - b\) кратно 11, если \(a^2 + 9ab + b^2\) кратно 11, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ a^2 + 9ab + b^2 \text{ кратно } 11 \]
2. Представим выражение \(a^2 + 9ab + b^2\) в виде суммы двух квадратов: \[ a^2 + 9ab + b^2 = (a + 5b)^2 - 24b^2 \] Так как \(24b^2\) тоже кратно 11, то: \[ (a + 5b)^2 \text{ кратно } 11 \]
3. Рассмотрим выражение \(a - b\) и представим его в виде разности двух квадратов: \[ a - b = (a + 5b)^2 - (5a + b)^2 \]
4. Разложим разность квадратов: \[ (a + 5b)^2 - (5a + b)^2 = (a + 5b + 5a + b)(a + 5b - (5a + b)) \]
5. Упростим выражение: \[ (a + 5b + 5a + b)(a + 5b - 5a - b) = (6a + 6b)(-4a + 4b) \]
6. Упростим дальше: \[ 6(a + b) \cdot 4(-a + b) = 24(a + b)(-a + b) \]
7. Так как \(24(a + b)(-a + b)\) кратно 11, то \((a + b)(-a + b)\) также кратно 11. Следовательно, \(a - b\) кратно 11.

Таким образом, доказано, что значение выражения \(a - b\) кратно 11.