Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите все простые числа \(р\) такие, что числа \(2р + 1\) и \(4р + 1\) также простые.

Ответ

3

Решение № 49573:

Для решения задачи Найдите все простые числа \( p \), такие что числа \( 2p + 1 \) и \( 4p + 1 \) также простые выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Найти все простые числа \( p \), такие что \( 2p + 1 \) и \( 4p + 1 \) также простые.
2. Проверим малые простые числа \( p \) и посмотрим, удовлетворяют ли они условию.
3. Проверим \( p = 2 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 2 + 1 = 9 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 2 \) не подходит.
4. Проверим \( p = 3 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 3 + 1 = 13 \quad (\text{простое}) \] Таким образом, \( p = 3 \) подходит.
5. Проверим \( p = 5 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 5 + 1 = 21 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 5 \) не подходит.
6. Проверим \( p = 7 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 7 \) не подходит.
7. Проверим \( p = 11 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 11 + 1 = 45 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 11 \) не подходит.
8. Проверим \( p = 13 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 13 + 1 = 27 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 13 \) не подходит.
9. Проверим \( p = 17 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 17 + 1 = 35 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 17 \) не подходит.
10. Проверим \( p = 19 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 19 + 1 = 39 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 19 \) не подходит.
11. Проверим \( p = 23 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 23 + 1 = 47 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 23 + 1 = 93 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 23 \) не подходит.
12. Проверим \( p = 29 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 29 + 1 = 59 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 29 + 1 = 117 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 29 \) не подходит.
13. Проверим \( p = 31 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 31 + 1 = 63 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 31 \) не подходит.
14. Проверим \( p = 37 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 37 + 1 = 75 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 37 \) не подходит.
15. Проверим \( p = 41 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 41 + 1 = 83 \quad (\text{простое}) \] \[ 4p + 1 = 4 \cdot 41 + 1 = 165 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 41 \) не подходит.
16. Проверим \( p = 43 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 43 + 1 = 87 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 43 \) не подходит.
17. Проверим \( p = 47 \): \[ 2p + 1 = 2 \cdot 47 + 1 = 95 \quad (\text{не простое}) \] Таким образом, \( p = 47 \) не подходит.

Таким образом, единственное простое число \( p \), удовлетворяющее условию задачи, есть \( p = 3 \). Ответ: 3