Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите все простые числа \(р\) такие, что числа \(р + 26\) и \(р + 28\) также простые.

Ответ

3

Решение № 49572:

Для решения задачи о нахождении всех простых чисел \(p\), таких что числа \(p + 26\) и \(p + 28\) также простые, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ p, \, p + 26, \, p + 28 \text{ — все простые числа.} \]
2. Заметим, что одно из чисел \(p + 26\) или \(p + 28\) обязательно делится на 3 (так как разность этих чисел равна 2, и одно из них должно быть кратно 3).
3. Рассмотрим случаи, когда \(p + 26\) или \(p + 28\) делится на 3.
   • Если \(p + 26\) делится на 3: \[ p + 26 \equiv 0 \pmod{3} \implies p \equiv -26 \equiv 2 \pmod{3} \]
   • Если \(p + 28\) делится на 3: \[ p + 28 \equiv 0 \pmod{3} \implies p \equiv -28 \equiv 1 \pmod{3} \]
4. Так как \(p\) — простое число, оно не может быть кратно 3 (иначе бы оно было равно 3). Следовательно, \(p \equiv 1 \pmod{3}\) или \(p \equiv 2 \pmod{3}\).
5. Рассмотрим простые числа, удовлетворяющие этим условиям:
   • Если \(p \equiv 1 \pmod{3}\), то \(p\) может быть 7, 13, 19, ...
   • Если \(p \equiv 2 \pmod{3}\), то \(p\) может быть 5, 11, 17, ...
6. Проверим эти числа на условие задачи:
   • \(p = 5\): \[ p + 26 = 31 \quad \text{(простое)}, \quad p + 28 = 33 \quad \text{(не простое)} \]
   • \(p = 7\): \[ p + 26 = 33 \quad \text{(не простое)}, \quad p + 28 = 35 \quad \text{(не простое)} \]
   • \(p = 11\): \[ p + 26 = 37 \quad \text{(простое)}, \quad p + 28 = 39 \quad \text{(не простое)} \]
   • \(p = 13\): \[ p + 26 = 39 \quad \text{(не простое)}, \quad p + 28 = 41 \quad \text{(простое)} \]
   • \(p = 17\): \[ p + 26 = 43 \quad \text{(простое)}, \quad p + 28 = 45 \quad \text{(не простое)} \]
   • \(p = 19\): \[ p + 26 = 45 \quad \text{(не простое)}, \quad p + 28 = 47 \quad \text{(простое)} \]
7. Таким образом, единственное простое число \(p\), удовлетворяющее условию задачи, это \(p = 3\): \[ p = 3, \quad p + 26 = 29 \quad \text{(простое)}, \quad p + 28 = 31 \quad \text{(простое)} \]

Ответ: \(p = 3\)