Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Простые числа \(р\) и \(q\) таковы, что \(р > З\) и \(q > 3\). Докажите, что \((p^2 - q^2) \vdots 24\).

Ответ

NaN

Решение № 49571:

Для доказательства того, что \((p^2 - q^2) \vdots 24\), где \(p\) и \(q\) — простые числа, такие что \(p > 3\) и \(q > 3\), выполним следующие шаги:

1. Запишем выражение \(p^2 - q^2\) в виде разности квадратов: \[ p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) \]
2. Рассмотрим свойства простых чисел \(p\) и \(q\), которые больше 3. Все простые числа, большие 3, являются нечетными. Следовательно, \(p\) и \(q\) — нечетные числа.
3. Так как \(p\) и \(q\) — нечетные числа, их разность \(p - q\) и сумма \(p + q\) будут четными числами (поскольку разность и сумма двух нечетных чисел всегда четные).
4. Следовательно, \(p - q\) и \(p + q\) делятся на 2: \[ p - q \vdots 2 \quad \text{и} \quad p + q \vdots 2 \]
5. Теперь рассмотрим делимость на 3. Поскольку \(p\) и \(q\) — простые числа больше 3, они не делятся на 3. Однако, одно из чисел \(p - q\) или \(p + q\) должно делиться на 3, так как при делении на 3 остаток может быть только 1 или 2 (одно из этих чисел будет делиться на 3).
6. Таким образом, одно из чисел \(p - q\) или \(p + q\) делится на 3: \[ p - q \vdots 3 \quad \text{или} \quad p + q \vdots 3 \]
7. Теперь рассмотрим делимость на 4. Поскольку \(p\) и \(q\) — нечетные числа, их квадраты \(p^2\) и \(q^2\) дают остаток 1 при делении на 4. Следовательно, \(p^2 - q^2\) дает остаток 0 при делении на 4: \[ p^2 \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{и} \quad q^2 \equiv 1 \pmod{4} \] \[ p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{4} \] \[ p^2 - q^2 \vdots 4 \]
8. Так как \(p^2 - q^2\) делится на 2, 3 и 4, оно делится на наименьшее общее кратное этих чисел, которое равно 24: \[ p^2 - q^2 \vdots 24 \]

Таким образом, мы доказали, что \((p^2 - q^2) \vdots 24\).