Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что если \(р\) - простое число и \(р > 3\), то \((р^2 - 1) \vdots 24\).

Ответ

NaN

Решение № 49570:

Для доказательства, что если \( p \) — простое число и \( p > 3 \), то \( (p^2 - 1) \vdots 24 \), выполним следующие шаги:

1. Запишем выражение \( p^2 - 1 \) в виде произведения: \[ p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) \]
2. Заметим, что \( p \) — нечётное число (так как \( p \) — простое и \( p > 3 \)). Следовательно, \( p - 1 \) и \( p + 1 \) — два последовательных чётных числа.
3. Так как \( p - 1 \) и \( p + 1 \) — два последовательных чётных числа, одно из них делится на 2, а другое на 4. Следовательно, их произведение делится на \( 2 \times 4 = 8 \): \[ (p - 1)(p + 1) \vdots 8 \]
4. Теперь рассмотрим делимость на 3. Поскольку \( p \) — простое число и \( p > 3 \), \( p \) не делится на 3. Следовательно, одно из чисел \( p - 1 \), \( p \), \( p + 1 \) делится на 3. Так как \( p \) не делится на 3, одно из чисел \( p - 1 \) или \( p + 1 \) делится на 3. Следовательно, произведение \( (p - 1)(p + 1) \) делится на 3: \[ (p - 1)(p + 1) \vdots 3 \]
5. Так как \( 8 \) и \( 3 \) взаимно просты (их НОД равен 1), их произведение \( 8 \times 3 = 24 \) также делит \( (p - 1)(p + 1) \): \[ (p - 1)(p + 1) \vdots 24 \]

Таким образом, мы доказали, что если \( p \) — простое число и \( p > 3 \), то \( (p^2 - 1) \vdots 24 \).