Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что каждое простое число \(р (р > 3)\) можно записать в виде \(6k + 1\) или \(6k - 1\), \(k \in N\).

Ответ

NaN

Решение № 49569:

Для доказательства того, что каждое простое число \( p \) (где \( p > 3 \)) можно записать в виде \( 6k + 1 \) или \( 6k - 1 \), где \( k \in \mathbb{N} \), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим простое число \( p \) такое, что \( p > 3 \).
2. Каждое простое число \( p \) большее 3 является нечетным, то есть оно не делится на 2.
3. Простое число \( p \) также не делится на 3, так как если бы \( p \) делилось на 3, то оно было бы составным числом.
4. Таким образом, \( p \) не делится ни на 2, ни на 3. Это означает, что при делении \( p \) на 6 остаток должен быть взаимно простым с 6.
5. Возможные остатки при делении на 6 это 0, 1, 2, 3, 4, 5. Однако, поскольку \( p \) не делится на 2 и на 3, остатки 0, 2 и 4 не могут быть возможными.
6. Следовательно, остатки могут быть только 1 или 5. Это означает, что \( p \) можно записать в виде \( 6k + 1 \) или \( 6k + 5 \) для некоторого целого \( k \).
7. Заметим, что \( 6k + 5 \) можно переписать как \( 6k - 1 \) для некоторого целого \( k \).

Таким образом, каждое простое число \( p \) (где \( p > 3 \)) можно записать в виде \( 6k + 1 \) или \( 6k - 1 \), где \( k \in \mathbb{N} \). Ответ: Доказано.