Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, простые и составные числа,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Ответ

NaN

Решение № 49568:

Для доказательства того, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу, выполним следующие шаги:

1. Представим простое число \( p \) в виде \( p = 30k + r \), где \( k \) — целое число, а \( r \) — остаток от деления \( p \) на 30. Таким образом, \( 0 \leq r < 30 \).
2. Заметим, что простое число \( p \) не может быть делимым ни на одно из чисел 2, 3 или 5, так как в противном случае оно не было бы простым.
3. Следовательно, остаток \( r \) также не должен быть делимым ни на одно из чисел 2, 3 или 5. Это означает, что \( r \) должен быть простым числом или равным 1.
4. Перечислим все числа от 0 до 29 и проверим, какие из них не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5:
   • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
   Из этих чисел только 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5.
5. Таким образом, возможные значения остатка \( r \) — это 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
6. Заключим, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Ответ: Доказано.