Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Деление с остатком. Арифметика остатков, сравнение по модулю,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Существует ли такое число \(х\), которое при делении на 4 и 5 даёт соответственно остатки 3 и 4?
Ответ
Существует, например 19
Решение № 49479:
Для решения задачи о существовании числа \( x \), которое при делении на 4 и 5 даёт остатки 3 и 4 соответственно, выполним следующие шаги:
- Запишем условия задачи:
\[
x \equiv 3 \pmod{4}
\]
\[
x \equiv 4 \pmod{5}
\]
- Из первого условия следует, что \( x \) можно представить в виде:
\[
x = 4k + 3 \quad \text{для некоторого целого числа } k
\]
- Подставим это выражение во второе условие:
\[
4k + 3 \equiv 4 \pmod{5}
\]
- Упростим выражение:
\[
4k + 3 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
4k + 3 - 4 \equiv 0 \pmod{5}
\]
\[
4k - 1 \equiv 0 \pmod{5}
\]
\[
4k \equiv 1 \pmod{5}
\]
- Найдем мультипликативную инверсию 4 по модулю 5. Ищем такое число \( m \), что:
\[
4m \equiv 1 \pmod{5}
\]
Проверим значения \( m \) от 1 до 4:
\[
4 \cdot 1 = 4 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
4 \cdot 2 = 8 \equiv 3 \pmod{5}
\]
\[
4 \cdot 3 = 12 \equiv 2 \pmod{5}
\]
\[
4 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}
\]
Таким образом, \( m = 4 \).
- Теперь умножим обе части уравнения \( 4k \equiv 1 \pmod{5} \) на 4:
\[
k \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
k = 5m + 4 \quad \text{для некоторого целого числа } m
\]
- Подставим \( k \) обратно в выражение для \( x \):
\[
x = 4(5m + 4) + 3
\]
\[
x = 20m + 16 + 3
\]
\[
x = 20m + 19
\]
- Таким образом, число \( x \), которое удовлетворяет условиям задачи, имеет вид:
\[
x = 20m + 19 \quad \text{для некоторого целого числа } m
\]
- Проверим, что \( x = 19 \) удовлетворяет условиям задачи:
\[
19 \div 4 = 4 \text{ остаток } 3
\]
\[
19 \div 5 = 3 \text{ остаток } 4
\]
Оба условия выполняются.
Таким образом, существует такое число \( x \), которое при делении на 4 и 5 даёт остатки 3 и 4 соответственно. Одно из таких чисел — 19.
Ответ: 19