Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Деление с остатком. Арифметика остатков, сравнение по модулю,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Существует ли такое число \(х\), которое при делении на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5.

Ответ

Не существует

Решение № 49478:

Для решения задачи Существует ли такое число \(x\), которое при делении на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5 выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ x \equiv 13 \pmod{30} \] \[ x \equiv 5 \pmod{18} \]
2. Выразим \(x\) в виде: \[ x = 30k + 13 \] где \(k\) — некоторое целое число.
3. Подставим \(x = 30k + 13\) во второе условие: \[ 30k + 13 \equiv 5 \pmod{18} \]
4. Упростим выражение: \[ 30k + 13 \equiv 5 \pmod{18} \] Поскольку \(30 \equiv 12 \pmod{18}\), заменим 30 на 12: \[ 12k + 13 \equiv 5 \pmod{18} \]
5. Вычтем 13 из обеих частей: \[ 12k \equiv -8 \pmod{18} \] Поскольку \(-8 \equiv 10 \pmod{18}\), получаем: \[ 12k \equiv 10 \pmod{18} \]
6. Решим уравнение \(12k \equiv 10 \pmod{18}\). Для этого найдем обратное число к 12 по модулю 18. Поскольку 12 и 18 не являются взаимно простыми, обратного числа не существует.
7. Поскольку обратного числа не существует, решения уравнения \(12k \equiv 10 \pmod{18}\) нет.

Таким образом, такого числа \(x\), которое удовлетворяет обоим условиям, не существует. Ответ: нет такого числа \(x\).