Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Деление с остатком. Арифметика остатков, сравнение по модулю,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Число \(b\) при делении на 5 даёт в остатке 2, а при делении на 3 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа \(b\) на 15.

Ответ

NaN

Решение № 49477:

Для решения задачи, где число \(b\) при делении на 5 даёт в остатке 2, а при делении на 3 даёт в остатке 1, и нужно найти остаток при делении числа \(b\) на 15, выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ b \equiv 2 \pmod{5} \] \[ b \equiv 1 \pmod{3} \]
2. Представим \(b\) в виде: \[ b = 5k + 2 \] где \(k\) — целое число.
3. Подставим \(b = 5k + 2\) во второе условие: \[ 5k + 2 \equiv 1 \pmod{3} \]
4. Упростим выражение: \[ 5k + 2 \equiv 1 \pmod{3} \] Поскольку \(5 \equiv 2 \pmod{3}\), то: \[ 2k + 2 \equiv 1 \pmod{3} \]
5. Решим уравнение \(2k + 2 \equiv 1 \pmod{3}\): \[ 2k + 2 \equiv 1 \pmod{3} \] \[ 2k \equiv -1 \pmod{3} \] \[ 2k \equiv 2 \pmod{3} \] Так как \(2 \cdot 2 \equiv 1 \pmod{3}\), то: \[ k \equiv 1 \pmod{3} \]
6. Представим \(k\) в виде: \[ k = 3m + 1 \] где \(m\) — целое число.
7. Подставим \(k = 3m + 1\) в выражение для \(b\): \[ b = 5(3m + 1) + 2 \] \[ b = 15m + 5 + 2 \] \[ b = 15m + 7 \]
8. Найдём остаток при делении \(b\) на 15: \[ b \equiv 7 \pmod{15} \]

Таким образом, остаток при делении числа \(b\) на 15 равен 7. Ответ: 7