Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Деление с остатком. Арифметика остатков, сравнение по модулю,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Число \(а\) при делении на 6 даёт в остатке 3, а при делении на 4 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа \(а\) на 12.

Ответ

9

Решение № 49476:

Для решения задачи Число \(а\) при делении на 6 даёт в остатке 3, а при делении на 4 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа \(а\) на 12 выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • При делении на 6 число \(a\) даёт остаток 3: \(a \equiv 3 \pmod{6}\).
   • При делении на 4 число \(a\) даёт остаток 1: \(a \equiv 1 \pmod{4}\).
2. Представим число \(a\) в виде: \[ a = 6k + 3 \quad \text{для некоторого целого} \ k \]
3. Подставим \(a = 6k + 3\) в условие деления на 4: \[ 6k + 3 \equiv 1 \pmod{4} \]
4. Упростим выражение \(6k + 3\) по модулю 4:
   • \(6k \equiv 2k \pmod{4}\), так как \(6 \equiv 2 \pmod{4}\).
   • Тогда \(6k + 3 \equiv 2k + 3 \pmod{4}\).
   \[ 2k + 3 \equiv 1 \pmod{4} \]
5. Решим уравнение \(2k + 3 \equiv 1 \pmod{4}\):
   • Вычтем 3 из обеих частей уравнения: \[ 2k \equiv -2 \pmod{4} \]
   • Заметим, что \(-2 \equiv 2 \pmod{4}\): \[ 2k \equiv 2 \pmod{4} \]
   • Разделим обе части уравнения на 2: \[ k \equiv 1 \pmod{2} \]
6. Таким образом, \(k\) должен быть нечётным числом. Пусть \(k = 2m + 1\) для некоторого целого \(m\).
7. Подставим \(k = 2m + 1\) в выражение для \(a\): \[ a = 6(2m + 1) + 3 = 12m + 6 + 3 = 12m + 9 \]
8. Найдём остаток от деления \(a\) на 12: \[ a \equiv 12m + 9 \pmod{12} \] \[ a \equiv 9 \pmod{12} \]

Таким образом, остаток при делении числа \(a\) на 12 равен 9. Ответ: 9