Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Сфера касается всех ребер пирамиды \(ABCD\). Докажите, что \(AB+CD=AC+BD=AD+BC\).

Ответ

NaN

Решение № 48108:

Для доказательства того, что \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\) в пирамиде \(ABCD\), где сфера касается всех ребер, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим пирамиду \(ABCD\) и сферу, касающуюся всех её ребер.
2. Обозначим точки касания сферы с ребрами \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\) и \(CD\) как \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(T\) и \(U\) соответственно.
3. Так как сфера касается всех ребер, то отрезки \(AP\), \(AQ\), \(AR\), \(BS\), \(BT\) и \(CU\) равны между собой, так как они являются касательными, проведенными из одной точки к сфере.
4. Из равенства касательных следует, что: \[ AP = AQ = AR, \quad BS = BT, \quad CU = CQ \]
5. Рассмотрим треугольники, образованные точками касания и вершинами пирамиды. В треугольнике \(ABP\) и \(ACQ\) имеем: \[ AB = AP + PB, \quad AC = AQ + QC \] Так как \(AP = AQ\), то: \[ AB + CD = (AP + PB) + (CU + UD) \] \[ AC + BD = (AQ + QC) + (BT + TD) \]
6. Аналогично для треугольников \(ADR\) и \(BCS\): \[ AD = AR + RD, \quad BC = BS + SC \] Так как \(AR = AS\), то: \[ AD + BC = (AR + RD) + (BS + SC) \]
7. Теперь сложим все равенства: \[ AB + CD = AP + PB + CU + UD \] \[ AC + BD = AQ + QC + BT + TD \] \[ AD + BC = AR + RD + BS + SC \]
8. Так как \(AP = AQ = AR\), \(BS = BT\), \(CU = CQ\), то: \[ AB + CD = AC + BD = AD + BC \]

Таким образом, мы доказали, что \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\).