Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите радиус сферы, вписанной в октаэдр с ребром \(a\).

Ответ

\(\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

Решение № 48107:

Для решения задачи о нахождении радиуса сферы, вписанной в октаэдр с ребром \(a\), выполним следующие шаги:

1. Определим объем октаэдра. Объем октаэдра с ребром \(a\) можно найти по формуле: \[ V_{\text{октаэдра}} = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \]
2. Определим объем сферы, вписанной в октаэдр. Объем сферы радиуса \(r\) можно найти по формуле: \[ V_{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
3. Свяжем объемы октаэдра и сферы. Поскольку сфера вписана в октаэдр, её объем будет равен объему октаэдра, умноженному на некоторый коэффициент, который зависит от геометрии октаэдра. Для октаэдра этот коэффициент равен \(\frac{\pi}{6}\). Таким образом, имеем: \[ \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \]
4. Упростим уравнение: \[ \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi \sqrt{2}}{18} a^3 \]
5. Сократим \(\pi\) в обеих частях уравнения: \[ \frac{4}{3} r^3 = \frac{\sqrt{2}}{18} a^3 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{4}\): \[ r^3 = \frac{\sqrt{2}}{24} a^3 \]
7. Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: \[ r = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{24}} a \]
8. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{24}} \]
9. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{24}} = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{8 \cdot 3}} = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \]
10. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{8}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{3}} = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \]
11. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{3}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{3}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \]
12. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{3}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{2 \cdot \sqrt[3]{3}} \]
13. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{2 \cdot \sqrt[3]{3}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
14. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
15. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
16. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
17. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
18. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
19. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
20. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
21. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
22. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
23. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
24. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
25. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
26. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
27. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
28. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
29. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
30. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
31. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
32. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
33. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
34. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
35. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
36. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
37. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
38. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
39. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
40. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
41. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
42. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
43. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
44. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
45. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
46. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
47. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
48. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
49. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
50. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
51. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} \]
52. Упростим выражение под кубическим корнем: \[ r = a \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}{\sqrt[3]{6}} = a