Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Многогранники, описанные около сферы,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Гранями параллелепипеда являются ромбы со сторонами 1 и острыми углами \(60^{\circ} \). Найдите радиус вписанной сферы.
Ответ
\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Решение № 48105:
Для решения задачи о нахождении радиуса вписанной сферы в параллелепипед, гранями которого являются ромбы со сторонами 1 и острыми углами \(60^\circ\), выполним следующие шаги:
- Запишем данные задачи:
- Грани параллелепипеда — ромбы со сторонами 1.
- Острые углы ромбов равны \(60^\circ\).
- Определим высоту ромба:
- Ромб с острым углом \(60^\circ\) можно разбить на два равносторонних треугольника с углом \(60^\circ\).
- Высота равностороннего треугольника с углом \(60^\circ\) и стороной 1 равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Определим объем параллелепипеда:
- Основание параллелепипеда — ромб с площадью \(S = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Высота параллелепипеда равна высоте ромба, то есть \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Объем параллелепипеда \(V = S \times h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}\).
- Определим радиус вписанной сферы:
- Формула для радиуса вписанной сферы в параллелепипед: \(r = \frac{3V}{S_1 + S_2 + S_3}\), где \(S_1, S_2, S_3\) — площади граней параллелепипеда.
- Площади граней параллелепипеда: \(S_1 = S_2 = S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Сумма площадей граней: \(S_1 + S_2 + S_3 = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
- Радиус вписанной сферы: \(r = \frac{3 \times \frac{3}{4}}{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{4} \times \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Таким образом, радиус вписанной сферы равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)